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INTRODUCCIÓN:
Los cuadrados mágicos son distribuciones de números en celdas, cuyas celdas forman un cuadrado. Si sumamos cualquiera de sus filas o columnas nos da el mismo resultado.
Por ejemplo, en el siguiente cuadrado mágico se han dispuesto los números del 1 al 9. Puede comprobarse que su «constante mágica» es 15, es decir, la suma de sus filas, columnas y diagonales es 15.
HISTORIA:
En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua él Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.
La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos.
TIPOS DE CUADRADOS MÁGICOS:
Si el cuadrado mágico tiene tres filas y tres columnas, es decir nueve casillas y por lo tanto nueve números, se denomina cuadrado mágico de orden tres.
Si el cuadrado mágico tiene cuatro filas y cuatro columnas, es decir dieciséis casillas y dieciséis números, se denomina cuadrado mágico de orden cuatro.
Si el cuadrado mágico tiene cinco filas y cinco columnas, es decir veinticinco casillas y veinticinco números, se denomina cuadrado mágico de orden cinco.
En general, si el cuadrado mágico tiene "n" filas y "n" columnas, es decir n2 casillas y n2 números, se denominará cuadrado mágico de orden "n".
No existen cuadrados mágicos de orden dos.
De orden cuatro:
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16
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3
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2
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13
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5
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10
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11
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8
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9
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6
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7
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12
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4
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15
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14
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1
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CUADRADOS MÁGICOS 6X6:
Preparamos un casillero de 6x6 agrupados sus cuadros en 2x2, sobre él colocamos a tanteo los números 0, 1, 2, 3, de manera que cumpla la condición de cuadrado mágico, es decir, los números de sus líneas horizontales, verticales y diagonales deben sumar 9.
Preparamos otro casillero igual, colocamos un cuadrado mágico de 3x3 repitiendo cada número sobre cada grupo de cuadros 2x2.
En cada casilla multiplicamos 9 por el número del primero y le sumamos el número del segundo.
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suma = 9
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3 x 3 repetido
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suma = 105
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9 ·
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+
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=
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30
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12
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20
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2
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25
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16
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21
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3
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. . .
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11
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34
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7
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17
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35
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22
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4
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9
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18
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8
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26
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13
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31
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0
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27
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1
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10
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15
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33
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14
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32
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28
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19
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6
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24
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23
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5
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+ 4 ·
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=
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15
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13
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10
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8
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30
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29
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14
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12
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11
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9
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31
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28
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33
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35
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. . .
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16
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1
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2
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32
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34
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17
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19
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0
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3
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4
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5
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25
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27
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21
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23
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7
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6
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24
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26
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22
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20
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También podemos hacerlo sumando el número del primero con el producto de 4 por el número del segundo.
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS:
Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico.
Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir.
Se pueden intercambiar entre sí dos filas junto con dos columnas simétricas en bloque todos los números de una fila con todos los números de otra fila, haciendo lo mismo con los números de las filas y columnas que sean simétricas a ellas respecto de los ejes vertical, horizontal y de las diagonales.
De este cuadrado mágico intercambiamos la 1ª y la 4ª fila, junto con la 1ª y la 4ª columna. Si sólo se intercambiaran las filas sería incorrecto.
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Comienzo
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intercambiamos la 1ª con la 4ªfila
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intercambiamos la 1ª con la 4ª columna
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obtenemos finalmente
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
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1
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6
|
10
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13
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1
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5
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9
|
2
|
14
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11
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7
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12
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0
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8
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4
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3
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15
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6
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10
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13
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1
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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8
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4
|
3
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15
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1
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10
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13
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6
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14
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9
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2
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5
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0
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7
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12
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11
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15
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4
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3
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8
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Observamos que las filas, columnas y diagonales del último cuadrado están formadas con los mismos números que las del primer cuadrado.
Propiedad específica de los cuadrados 4x4.
En los cuadrados de 4x4, además de sus filas, columnas y diagonales, también suman lo mismo los números de casillas situadas en vértices de rectángulos concéntricos paralelos al cuadrado. Son los de las casillas señaladas aquí. Compruébalo en este cuadrado:
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
|
1
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
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1
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
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1
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
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1
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8
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4
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3
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15
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5
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9
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2
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14
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11
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7
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12
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0
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6
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10
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13
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1
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Todos ellos suman 30.
¿CÓMO SE CONSTRUYEN?
No existe un método general de construcción de cuadrados mágicos. El método seguido en esta aplicación se denomina Método de La Loubère y es válido para cuadrados mágicos de orden impar. Los pasos a seguir son los siguientes:
1º Se coloca el número 1 en la casilla del medio de la fila superior.
2º Para colocar el número siguiente, se desplaza una casilla hacia arriba y una hacia la derecha. Si el número que intenta colocar queda fuera del cuadrado, se debe considerar unidos los bordes de éste.
3º Cuando la celda siguiente está ocupada, el número consecutivo de la serie se coloca en la celda inmediatamente inferior a la del número precedente, comenzando así un nuevo camino en la dirección de la diagonal.
La explicación se ha realizado para una sucesión aritmética de valor inicial 1 y diferencia unidad, pero cualquier otra también permitiría construir cuadrados mágicos, como se aprecia en la aplicación.
EL CUADRADO DE LA SAGRADA FAMILIA:
En el templo de la sagrada familia en Barcelona podemos encontrar un cuadrado mágico de 4x4, este cuadrado es del arte del siglo xx, dicho cuadrado fue hecho por el escultor Josep m. subirachs en 1927.
Como ya decíamos antes se trata de un cuadrado mágico de 4x4 que al sumar todas sus filas, columnas o diagonales siempre sale el numero 33. Podemos encontrar 310 combinaciones en total. Según dicen las leyendas este cuadrado mágico da como resultado 33 en memoria a la edad que tenia Cristo cuando murió.
EJERCICIOS PARA RESOLVER CON SOLUCIONES:
Con las técnicas y propiedades que hemos aprendido anteriormente, ya podemos realizar los siguientes ejercicios.
Las soluciones estarán a continuación de dicho ejercicio por favor realizarlo sin mirar la solución.
Problema 1. SUMA 15. Construye un cuadrado mágico de 3x3. (Suma=15)
Solución:
SUMA 15.
Problema 2. SUMA 24. Coloca nueve números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la de las columnas sea 24.
Solución:
SUMA 24.
Problema 3. SUMA 18. Construye el cuadrado mágico de 3x3 tal que la suma de los 3 números elegidos sea 18.
Solución:
SUMA 18.
Problema 4. OTRA SUMA DE 18. Coloca tres números consecutivos en un cuadrado de 3x3, de manera que la suma de las filas y la suma de las columnas sea 18.
Solución:
OTRA SUMA DE 18.
Problema 5. DEL 10 AL 18. Halla el número K, sabiendo que el cuadrado en el cual está inscrito es mágico y se compone de los números de 10 a 18.
Solución:
DEL 10 AL 18. Sea N el número mágico del cuadrado.
a + b + c = N
a + K + f = N
b + K + e = N
c + K + d = N
d + e + f = N
Sumando miembro a miembro las tres igualdades centrales:
(a+b+c)+3K+ (d+e+f)=3N ===> N+3K+N=3N ===> 3K=N ===> K=N/3
En este cuadrado mágico, N es la tercera parte de la suma de sus elementos 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 126 ===> N=42. Luego K=14.
Problema 6. A COMPLETAR. Completa el siguiente cuadrado para que sea mágico.
Solución:
A COMPLETAR.
67 + b + 43 = b + K + 73 = 3K. Por lo tanto: K=37, b=1.
Tiene la particularidad de estar compuesto sólo por números primos.
Problema 7. SUMA 34. Construye un cuadrado mágico de 4x4. (Suma=34)
Solución:
SUMA 34.
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16
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3
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2
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13
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5
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10
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11
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8
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9
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6
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7
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12
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4
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15
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14
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1
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Problema 8. CUADRADO DIABÓLICO. Construye un cuadrado mágico de 4x4 (Suma=34). Los elementos de cada una de las nueve matrices 2x2 que componen el cuadrado también deben sumar 34.
Solución:
8. CUADRADO DIABÓLICO. Es el cuadrado mágico de Alberto Duero. (Cuadrado diabólico)
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16
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3
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2
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13
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5
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10
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11
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8
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9
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6
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7
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12
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4
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15
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14
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1
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Este cuadrado cumple las condiciones pedidas.
Además, los números de las esquinas también suman 34: 16+13+4+1=34.
También: 3+2+15+14=34, 5+9+8+12=34.
Este cuadrado mágico aparece en el conocidísimo grabado: «La Melancolía». Las dos cantidades del centro de la cuarta fila forman el año 1514 en el que fue grabado.
BIBLIOGRAFÍA:
www.terra.es/personal8/ebarcodi
Esta página web nos explica en general los cuadrados mágicos y va dirigida especialmente a los profesores de matemáticas para que realicen cálculos y ejercicios.
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/c_magico.htm
Esta página web nos explica un poco en general de que se trata al hablar de cuadrado mágico y cómo podemos construirlos atreves de unos pequeños trucos.
http://www.iescarrus.com/edumat/baul/curiosidad/cuadradosmagicos.htm
Esta página web nos explica que son los cuadrados mágicos, y nos pone un pequeño ejemplo en el que nosotros le decimos el tamaño y como queremos que sea el cuadrado.
http://www.test-de-inteligencia.es/articulos_inteligencia/matematicas/cuadrado-magico-sagrada-familia.html
Esta página web nos explica el significado del cuadrado que podemos encontrar en el templo de la sagrada familia y de que magnitud es. |
¿Sabías que...? 
